Lineare Gleichungssysteme (LGS)

Zur Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen

Lineare Gleichungssysteme bestehen aus mehreren linearen Gleichungen, die in ihrer Gesamtheit ein System bilden.

Dies bedeutet insbesondere, dass es bei der Lösung eines LGS nicht nur um die einzelne Gleichung, sondern um das gesamte LGS mit allen seinen Gleichungen geht.

Ein Gleichungssystem ist lösbar, wenn alle Gleichungen des Systems eine wahre Aussage ergeben.

Liefert jedoch mindestens ein der Gleichungen des Systems (JA! EINE unlösbare Gleichung genügt auch bei einem LGS mit 1000 Gleichungen!) eine falsche Aussage, so ist das LGS unlösbar

Eine Lösung eines LGS ist eine Wertekombination der Variablen, die das LGS bilden, für die alle Gleichungen des LGS eine wahre Aussage liefern.

Die Lösung eines LGS lässt sich auch als Vektor darstellen. Man spricht dann vom Lösungsvektor.

Häufig findet man genau eine Lösung (d.h. genau eine Wertekombination der Variablen) für ein LGS. Das LGS bezeichnet man dann als eindeutig lösbar.

Hat ein LGS mehr als eine Lösung (z.B. auch unendlich viele Lösungen), bezeichnet man es als mehrdeutig lösbar.

Die Frage ist nun, wie man erkennt, ob ein LGS eindeutig lösbar, mehrdeutig lösbar oder unlösbar ist. - Ein Weg ist es, das LGS mit dem Gauß-Verfahren umzuformen. Anhand des Ergebnisses, das das Gauß-Verfahren liefert, erkennt man welche Art eines LGS vorliegt.

Eindeutig lösbare LGS

Beispiele für eindeutig lösbare LGS nach Durchführung des Gauß-Verfahrens:

LGS

LGS

LGS

LGS

Gleichung

Ein eindeutig lösbares LGS kann mit dem Gauß-Verfahren immer in eine Stufen-Form überführt werden. Dabei bleibt die Anzahl der Gleichungen erhalten. Man erhält einen eindeutigen Lösungsvektor.

LGS

Die Nullen der Koeffizientenmatrix bilden bei einer Stufenform ein Dreieck, weshalb die Stufenform auch als Dreiecksform bezeichnet wird.

Mehrdeutig lösbare LGS

Beispiele für mehrdeutig lösbare LGS nach Durchführung des Gauß-Verfahrens:

LGS

LGS

LGS

LGS

Gleichung

Gleichung

Ein mehrdeutig lösbares LGS lässt sich nicht vollständig durch das Gauß-Verfahren in eine Stufenform überführen.

Das liegt daran, dass mindestens zwei der Gleichungen des LGS äquivalent sind. D.h. diese Gleichungen lassen sich durch Äquivalenzumformungen ineinander überführen.

Beim Gauß-Verfahren entfällt also mindestens eine Gleichung vollständig, was man daran erkennt, dass sich in der Lösungsmatrix eine Nullzeile ergibt.

Übersetzt man diese Nullzeile in eine Gleichung, so erhält man:

0=0

Dies stellt aber immer eine wahre Aussage dar.

Prinzipiell kann man sagen, dass die Gleichungen, aus denen ein mehrdeutig lösbares LGS besteht, nicht genügend Informationen für eine eindeutige Lösung enthalten.

Unlösbare LGS

Beispiele für unlösbare LGS nach Durchführung des Gauß-Verfahrens:

LGS

LGS

LGS

LGS

Gleichung

Gleichung

Ein unlösbares LGS lässt sich ebenfalls nicht vollständig durch das Gauß-Verfahren in eine Stufenform überführen.

Das liegt daran, dass mindestens zwei der Gleichungen des LGS widersprüchlich sind. D.h. diese Gleichungen lassen sich durch Äquivalenzumformungen in einen Widerspruch überführen.

Dieser Widerspruch zeigt sich in der Lösungsmatrix durch die Zeile 0 0 ... 0 1.

Übersetzt man diese Zeile in eine Gleichung, so erhält man:

0=1

Dies stellt aber immer eine falsche Aussage dar.

Prinzipiell kann man sagen, dass die Gleichungen, aus denen ein unlösbares LGS besteht, mindestens einen Widerspruch enthalten.